设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak—1α是线性无关的。

admin2021-01-15 4

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k—1α是线性无关的。

选项

答案设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂α+…+λ_kA^k—1α=0 两端左乘A^k—1，得 λ₁A^k—1α+λ₂A^kα+…+λ_kA^2k—2α=0 由于A^kα=0，有A^k+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ₁A^k—1α=0 因为A^k—1α≠0，所以λ₁=0．类似可证得λ₁=λ₂=…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，…，A^k—1α线性无关．

解析

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