已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵并且AB=0,求齐次线性方程组AX=0的通解.

admin2017-10-21  30

问题 已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵并且AB=0,求齐次线性方程组AX=0的通解.

选项

答案由于AB=0,r(A)+r(B)≤3,并且B的3个列向量都是AX=0的解. (1)若k≠9,则r(B)=2,r(A)=1,AX=0的基础解系应该包含两个解.(1,2,3)T和(3,6,k)T都是解,并且它们线性无关,从而构成基础解系,通解为: c1(1,2,3)T+c2(3,6,k)T,其中c1,c2任意. (2)如果k=9,则r(B)=1,r(A)=1或2. ①r(A)=2,则Ax=0的基础解系应该包含一个解,(1,2,3)T构成基础解系,通解为: c(1,2,3)T,其中c任意. ②r(A)=1,则Ax=0的基础解系包含两个解,而此时B的3个列向量两两相关,不能用其中的两个构成基础解系. 由r(A)=1,A的行向量组的秩为1,第一个行向量(a,b,c)(≠0!)构成最大无关组,因此第:二,三个行向量都是(a,b,c)的倍数,从而AX=0和方程ax1+bx2+cx3=0同解.由于(1,2,3)T是解,有a+2b+3c=0,则a,b不都为0(否则a,b,c都为0),于是(b,一a,0)T也是ax1+bx2+cx3=0的一个非零解,它和(1,2,3)T线性无关,一起构成基础解系,通解为: c1(1,2,3)T+c2(b,一a,0)T,其中c1,c2任意.

解析
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