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  3. (1987年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

(1987年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

admin2021-01-15  23
问题 (1987年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．
选项
答案证1 令F(x)=f(x)一x，由原题设可知F(x在[0，1]上连续，又F(0)=f(0)＞0，F(1)=f(1)一1＜0，由连续函数介值定理可知，[*]∈(0，1)，使F(x)=0，即f(x)=x． 以下证明唯一性：用反证法，假设使得f(x)=x的x不唯一，则至少应有两个，不妨设为x1和x2(不妨设x12)．由罗尔定理可知[*]ξ∈(x1，x2)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1，这与原题设f’(x)≠1矛盾． 证2 满足f(x)=x的x的存在性证法与上面相同，而唯一性可利用结论“若在(a，b)内f(n)(x)≠0，则方程f(x)=0在(a，b)内最多有n个实根"，由于F’(x)=f’(x)一1≠0，则F(x)=0在(0，1)内最多有一个根，原题得证．
解析
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考研数学一

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