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设A,B为n阶方阵,|B|≠0,若方程|A-λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是方程组(A-λiB)x=0的非零解,i=1,2,…,n,证明α1,α2,…,αn线性无关。
设A,B为n阶方阵,|B|≠0,若方程|A-λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是方程组(A-λiB)x=0的非零解,i=1,2,…,n,证明α1,α2,…,αn线性无关。
admin
2021-07-27
45
问题
设A,B为n阶方阵,|B|≠0,若方程|A-λB|=0的全部根λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异,α
i
分别是方程组(A-λ
i
B)x=0的非零解,i=1,2,…,n,证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关。
选项
答案
由|B|≠0,在|A-λB|=0两端左乘|B
-1
|,有|B
-1
A-λE|=0,即|λE-B
-1
A|=0,于是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是矩阵B
-1
A的n个互异特征值.又在(A-λ
i
B)x=0两端左乘B
-1
,有(B
-1
A-λ
i
E)x=0,即(λ
i
E-B
-1
A)x=0,故α
1
,α
2
,…,α
n
为B
-1
A的对应于λ
1
,λ
2
,…,λ
n
的特征向量,α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aLy4777K
0
考研数学二
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