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设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1). 证明:方程fn(x)=1有唯一的正根xn.
设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1). 证明:方程fn(x)=1有唯一的正根xn.
admin
2021-11-25
50
问题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥1).
证明:方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
.
选项
答案
令ψ
n
(x)=f
n
(x)-1,因为ψ
n
(0)=-1<0,ψ
n
(1)=n-1>0,所以ψ
n
(x)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有一个根。 因为ψ’
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,所以ψ
n
(x)在(0,+∞)内单调增加,所以ψ
n
(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为x
n
.
解析
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考研数学二
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