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  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

admin2021-11-25  14
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1).
证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.
选项
答案令ψn(x)=fn(x)－1,因为ψn（0）=－1＜0，ψn（1）=n－1＞0,所以ψn(x)在（0,1）[*](0,+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在（0，+∞）内有一个根。 因为ψ’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以ψn(x)在（0，+∞）内单调增加，所以ψn(x)在（0，+∞）内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在（0，+∞）内有唯一正根，记为xn.
解析
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考研数学二

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