设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

admin2021-11-25 36

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥1).
证明：方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n.

选项

答案令ψ_n(x)=f_n(x)－1,因为ψ_n（0）=－1＜0，ψ_n（1）=n－1＞0,所以ψ_n(x)在（0,1）[*](0,+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在（0，+∞）内有一个根。因为ψ’_n(x)=1+2x+…+nx^n-1＞0，所以ψ_n(x)在（0，+∞）内单调增加，所以ψ_n(x)在（0，+∞）内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在（0，+∞）内有唯一正根，记为x_n.

解析

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