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设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关.
设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关.
admin
2016-10-20
74
问题
设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关.
选项
答案
(1)(定义法,同乘) 对矩阵B按列分块,记B=(β
1
,β
2
,…,β
n
),若x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
n
β
n
=0,用分块矩阵可写成 [*] 用矩阵A左乘上式,并代人AB=E,得X=Ex=ABx=AO=0.所以B的列向量β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关. (2)(用秩) 对于AB=E,把B与E均按行分块,记作 [*] 其中α
i
=(b
i1
,b
i2
,…,b
in
)是B的第i行,e
i
=(0,…,0,1,0,…,0)的第i个分量为1. 用分块矩阵乘法,易见a
11
α
1
+a
12
α
2
+…+a
1m
α
m
=e
1
,即e
1
可由α
1
,α
2
,…,α
m
线性表出.同理,e
2
,…,e
n
也均可由α
1
,α
2
,…,α
m
线性表出. 显然,坐标向量e
1
,e
2
,…,e
n
可表示任一个n维向量α
i
=b
i1
e
1
+b
i2
e
2
+…+b
in
e
n
.于是α
1
,α
2
,…,α
m
与e
1
,e
2
,…,e
n
可互相线性表出,是等价向量组,有相同的秩.所以 r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(e
1
,e
2
,…,e
n
)=n. 因为,矩阵的秩=行秩=列秩,由r(B)=n知,B的列向量组线性无关. (3)(用秩) 因为B是m×n矩阵,且n<m,从矩阵秩的定义知:r(B)≤n.又因 r(B)≥r(AB)=r(E)=n, 所以r(B)=n,那么B的列向量组的秩是n,即其线性无关.
解析
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考研数学三
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