设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

admin2016-10-20 39

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 对矩阵B按列分块，记B=(β₁，β₂，…，β_n)，若x₁β₁+x₂β₂+…+x_nβ_n=0，用分块矩阵可写成 [*] 用矩阵A左乘上式，并代人AB=E，得X=Ex=ABx=AO=0．所以B的列向量β₁，β₂，…，β_s线性无关． (2)(用秩) 对于AB=E，把B与E均按行分块，记作 [*] 其中α_i=(b_i1，b_i2，…，b_in)是B的第i行，e_i=(0，…，0，1，0，…，0)的第i个分量为1．用分块矩阵乘法，易见a₁₁α₁+a₁₂α₂+…+a_1mα_m=e₁，即e₁可由α₁，α₂，…，α_m线性表出．同理，e₂，…，e_n也均可由α₁，α₂，…，α_m线性表出．显然，坐标向量e₁，e₂，…，e_n可表示任一个n维向量α_i=b_i1e₁+b_i2e₂+…+b_ine_n．于是α₁，α₂，…，α_m与e₁，e₂，…，e_n可互相线性表出，是等价向量组，有相同的秩．所以 r(α₁，α₂，…，α_m)=r(e₁，e₂，…，e_n)=n．因为，矩阵的秩=行秩=列秩，由r(B)=n知，B的列向量组线性无关． (3)(用秩) 因为B是m×n矩阵，且n＜m，从矩阵秩的定义知：r(B)≤n．又因 r(B)≥r(AB)=r(E)=n，所以r(B)=n，那么B的列向量组的秩是n，即其线性无关．

解析

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考研数学三

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