2. 考研
  3. 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

admin2016-10-20  99
问题 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．
选项
答案(1)(定义法，同乘) 对矩阵B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，若x1β1+x2β2+…+xnβn=0，用分块矩阵可写成 [*] 用矩阵A左乘上式，并代人AB=E，得X=Ex=ABx=AO=0．所以B的列向量β1，β2，…，βs线性无关． (2)(用秩) 对于AB=E，把B与E均按行分块，记作 [*] 其中αi=(bi1，bi2，…，bin)是B的第i行，ei=(0，…，0，1，0，…，0)的第i个分量为1． 用分块矩阵乘法，易见a11α1+a12α2+…+a1mαm=e1，即e1可由α1，α2，…，αm线性表出．同理，e2，…，en也均可由α1，α2，…，αm线性表出． 显然，坐标向量e1，e2，…，en可表示任一个n维向量αi=bi1e1+bi2e2+…+binen．于是α1，α2，…，αm与e1，e2，…，en可互相线性表出，是等价向量组，有相同的秩．所以 r(α1，α2，…，αm)=r(e1，e2，…，en)=n． 因为，矩阵的秩=行秩=列秩，由r(B)=n知，B的列向量组线性无关． (3)(用秩) 因为B是m×n矩阵，且n＜m，从矩阵秩的定义知：r(B)≤n．又因 r(B)≥r(AB)=r(E)=n， 所以r(B)=n，那么B的列向量组的秩是n，即其线性无关．
解析
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考研数学三

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