首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:c∈(0,1),有 |f′(c)|≤2a+b.
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:c∈(0,1),有 |f′(c)|≤2a+b.
admin
2016-10-26
57
问题
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:
c∈(0,1),有
|f′(c)|≤2a+
b.
选项
答案
考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]x∈[0,1],[*]c∈(0,1),有 f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+[*]f″(ξ)(x-c)
2
, (*) 其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f′(c)(-c)+[*]f″(ξ
1
)c
2
,0<ξ
1
<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[*]f″(ξ
2
)(1-c)
2
,0<c<ξ
2
<1. 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f′(c)+[*][f″(ξ
2
)(1-c)
2
-f″(ξ
1
)c
2
]. 从而f′(c)=f(1)-f(0)+[*][f″(ξ
1
)c
2
-f″(ξ
2
)(1-c)
2
],两端取绝对值并放大即得 |f′(c)|≤2a+[*]b[(1-c)
2
+c
2
]≤2a+[*]b(1-c+c)=2a+[*]b. 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1-c)
2
≤1-c,c
2
≤c,于是(1-c)
2
+c
2
≤1.
解析
证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时,常常需要利用函数在某点的泰勒展开式.本题涉及证明|f′(c)|≤2a+
,自然联想到将f(x)在点x=c处展开.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aUu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过Ⅱ表示为b2=________.
设函数z=z(x,y)由方程确定,其中F为可微甬数,且F2’≠0,则=_______.
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等,以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X的概率分布(信号灯的工作是相互独立的).
求极限1+cot2x.
求极限
设函数f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数,且f(0)≠0,f(0)≠0,若af(h)+by(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.
用欧拉方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x>0)的通解为_______.
齐次方程组的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵B≠0,使得AB=0,则().
求f(x)=ln(1—2x)的6阶麦克劳林公式(带皮亚诺型余项).
随机试题
射血分数
用高级语言编写的源程序要变为目标程序,必须经过_______处理。
患者,女性,60岁,风心病二尖瓣狭窄、全心衰竭5年,常于冬季好发心力衰竭,近3年规律服用地高辛、β受体阻滞剂、ACEI治疗。2天前着凉后出现咳嗽、咳痰、发热,伴活动后心悸、气短入院。体检:可见颈静脉怒张,心界扩大,心率102次/分,律整,两肺满布干、湿啰音
粒径小于3μm的被动靶向颗粒,静脉注射后的靶部位是
施工成本管理的措施包括( )。
甲股份有限公司(以下简称“甲公司”)拟自建一栋厂房,与该厂房建造相关的资料如下:(1)2×14年1月1日,甲公司为建造该厂房专门发行一项债券,面值为5000万元,发行价格为4968.79万元,票面利率为6%,期限为3年,每年年末支付当年度利息。甲公司另支
学生陈某发现自己的手机不见了,怀疑是同学张某偷的,于是老师吴某把张某叫到办公室对其进行搜身,吴某的做法主要侵犯了学生张某的()。
某市前进无线电厂生产的“红星”牌收录机十分畅销。《商标法》公布后,无线厂及时进行了注册.获得了该商标的专用权。但是好景不长,2006年8月,该无线厂多次接到顾客投诉,称所购“红星”牌收录机质量低劣,用不了几天就坏了。该厂立即对产品进行质量检验,并未发现质量
中国人民的梦想同各国人民的梦想息息相通,实现中国梦离不开和平的国际环境和稳定的国际秩序。据此,新时代坚持和发展中国特色社会主义,要坚持推动构建()。
DavidCameronhasnoticedthathealthandsafetyregulationsstopschoolstakingchildrenoutonfieldtrips,outdooractivitie
最新回复
(
0
)