首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:c∈(0,1),有 |f′(c)|≤2a+b.
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:c∈(0,1),有 |f′(c)|≤2a+b.
admin
2016-10-26
58
问题
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f″(x)|≤b,a,b为非负数,求证:
c∈(0,1),有
|f′(c)|≤2a+
b.
选项
答案
考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]x∈[0,1],[*]c∈(0,1),有 f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+[*]f″(ξ)(x-c)
2
, (*) 其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f′(c)(-c)+[*]f″(ξ
1
)c
2
,0<ξ
1
<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[*]f″(ξ
2
)(1-c)
2
,0<c<ξ
2
<1. 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f′(c)+[*][f″(ξ
2
)(1-c)
2
-f″(ξ
1
)c
2
]. 从而f′(c)=f(1)-f(0)+[*][f″(ξ
1
)c
2
-f″(ξ
2
)(1-c)
2
],两端取绝对值并放大即得 |f′(c)|≤2a+[*]b[(1-c)
2
+c
2
]≤2a+[*]b(1-c+c)=2a+[*]b. 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1-c)
2
≤1-c,c
2
≤c,于是(1-c)
2
+c
2
≤1.
解析
证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时,常常需要利用函数在某点的泰勒展开式.本题涉及证明|f′(c)|≤2a+
,自然联想到将f(x)在点x=c处展开.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aUu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成?(其中a为常数,e≈2.71828)
求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.
计算曲线积分其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R>1),取逆时针方向.
设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
求极限1+cot2x.
用区间表示满足下列不等式的所有x的集合:(1)|x|≤3(2)|x-2|≤1(3)|x-a|<ε(a为常数,ε>0)(4)|x|≥5(5)|x+1|>2
设0<a<1,证明:方程arctanx=ax在(0,+∞)内有且仅有一个实根.
本题考查定积分的性质和定积分的计算,由于是对称区间上的定积分,一般利用奇函数,偶函数在对称区间上积分性质简化计算,本题还用到了华里士公式.[*]
f(x)=xex的x阶麦克劳林公式为
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
随机试题
当发生有机磷农药中毒时可出现()。
PRECEDE—PROCEED模式揭示健康教育计划设计、执行及评价是一个【】
(2005年)固定成本是总成本费用的一部分,它是指其中的()。
非理性:指在人的认识过程中,不以理性思维为基础的精神要素以及不能被逻辑思维的概念所包含的主体心理形式。以下认识过程属于非理性因素的是()。
在制造业领域,面对人力成本的快速上涨,企业对于工业机器人的需求日益迫切。在全球范围内,工业机器人、3D打印、人工智能等技术为美国等西方国家制造业回升提供了有力支撑。这预示着未来不久工业机器人或将掀起新的工业革命,占据技术优势的国家的制造业成本将大幅下降。一
分析下列句子,是单句的,则用成分分析法分析并指出其类型,是复句的则分层并指出其类型。(主谓之间用“//”隔开,主语中心语用表示,谓语中心语用“__”表示,宾语中心语用表示,定语用“()”表示,状语用“[]”表示,补语用“<>”表示,插入语用下画
社会主义的根本任务是解放和发展生产力。确立这一根本任务的依据包括
[*]
【B1】【B3】
A、Theman’sgraduation.B、Thecouple’sengagement.C、Theman’ssmoking.D、Theman’sstress.CWhatisthemaintopicofthisconv
最新回复
(
0
)