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若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．
若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．
admin
2020-09-25
128
问题
若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．
选项
答案
设n×r矩阵A的列向量记为A
1
，A
2
，…，A
r
；AB的列向量记为α
1
，α
2
，…，α
r
，则 (α
1
，α
2
，…，α
r
)=(A
1
，A
2
，…，A
r
)B， 从而可知α
1
，α
2
，…,α
r
可由A
1
，A
2
，…，A
r
线性表示，若A
1
，A
2
，…，A
r
为齐次线性方程Cx=0的解，则α
1
，α
2
，…，α
r
也是Cx=0的解． 下证α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关． 因为B是可逆矩阵，所以(A
1
，A
2
，…，A
r
)=(α
1
，α
2
，…，α
r
)B
-1
， 从而可知A
1
，A
2
，…，A
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表示，于是α
1
，α
2
，…，α
r
与A
1
，A
2
，…，A
r
等价． 又由于A
1
，A
2
，…，A
r
为Cx=0的基础解系，则A
1
，A
2
，…，A
r
线性无关，故向量组α
1
，α
2
，…，α
r
的秩等于向量组A
1
，A
2
，…，A
r
的秩即为r，于是α
1
，α
2
，…，α
r
也线性无关．所以α
1
，α
2
，…，α
r
也是Cx=0的基础解系．
解析
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考研数学三
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