(2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0且=2，证明： (I)存在a＞0，使得f(a)=1； (Ⅱ)对(I)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=。

admin2019-03-19 69

问题 (2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0且

=2，证明：
(I)存在a＞0，使得f(a)=1；
(Ⅱ)对(I)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=

。

选项

答案(I)设F(x)=f(x)一1，x≥0，因为[*]所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞1。令x₀＞X，则f(x₀)＞1，所以F(x₀)＞0。又因为F(0)=一1＜0，根据介值定理，存在a∈(0，x₀)[*](0，+∞)，使得F(a)=0，即f(a)=1。 (Ⅱ)函数在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，a)，使得 [*]

解析

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考研数学三

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