2. 职业资格
  3. 案例： 在“三角函数求值”的教学中，教师给出了如下的问题。 已知α、β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值。 教师让两位学生板演，他(她)们的板演过程如下： 生1：因为sinα＝，α是锐角，所以cosα＝，

案例： 在“三角函数求值”的教学中，教师给出了如下的问题。 已知α、β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值。 教师让两位学生板演，他(她)们的板演过程如下： 生1：因为sinα＝，α是锐角，所以cosα＝，

admin2017-04-24  57
问题 案例：
    在“三角函数求值”的教学中，教师给出了如下的问题。
    已知α、β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值。
    教师让两位学生板演，他(她)们的板演过程如下：
    生1：因为sinα＝，α是锐角，所以cosα＝，
    又因为sin(α＋β)＝，0＜α＜β＜π，所以cos(α＋β)＝±，
    当cos(α＋β)＝时，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
    ＝
    当cos(α＋β)＝－时，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα。
    ＝
    生2：因为sinα＝，α是锐角，所以cosα＝，
    由sin(α＋β)＝，即sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
    设cosβ＝χ，因为β位锐角，所以sinβ＝，
    则，去分母，＝3，
    移项，，两边平方，5－5χ2＝9－12＋20χ2，
    合并同类项，25χ2－12χ＋4＝0，解方程得，。
    教师发现两位学生板演的内容与自己预设的内容不一致。
    问题：
你如何评价这两位学生的解题过程。
选项
答案学生一的解题思路从开始看是比较清晰的，利用两次sin2α＋cos2α＝1，后又结合分类讨论利用两角差的余弦公式求出cosβ的值，但是分类讨论后忘记验证两种情况是否都成立，原因是对公式cos([*]－d 琢)＝sinα，cos([*]＋d 琢)＝－sinα认识不清，掌握不全面。应该验证得出结果为： 若cosβ＝[*]，则cosβ＝sinα＝sin([*]－β)， 所以α＋β＝[*]，与已知矛盾，所以cosβ＝[*]。 所以会与老师期望得到的结果不同。 学生二利用两角和正弦公式，后化为解一元二次方程得出两个结果，后也是没有验证结果的正确性。和学生一犯了一样的错误。整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固，运用的也比较熟练。只是在熟练的基础之上还不能更好地内化数学思想，即验证结果的成立与分类讨论的应用。
解析
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