应用函数的单调性证明下列不等式：

admin2022-11-23 21

问题应用函数的单调性证明下列不等式：

选项

答案先证明sinx＜x,x∈(0，π／2)．令f(x)=x-sinx，则f’(x)=1-cosx＞0，x∈(0，π／2)．于是在(0，π／2)内，f(x)严格递增．又因为f(x)在x=0连续，所以f(x)=x-sinx＞f(0)=0，即x＞sinx，x∈(0，π／2)．下证[*] 为了确定x-tanx的符号，令h(x)=x-tanx，则 h’(x)=1-sec²x=-tan²x＜0，x∈(0，π／2) 因此h(x)在(0，π／2)内严格递减．又因h(x)在x=0连续，故h(x)＜h(0)=0．因此g’(x)＜0，x∈(0，π／2)．于是g(x)在(0，π／2)内严格递减，又因为g(x)在x=π／2连续，所以当x∈(0，π／2)时，g(x)＞g(π／2)=2／π，故当x∈(0，π／2)时，[*]＜sinx．

解析

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