设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得

admin2021-01-19 56

问题设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得

选项 A、f(x)在(0，δ)内单调增加．
B、f(x)在(－δ，0)内单调减少．
C、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．
D、对任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞(0)．

答案C

解析 [分析] 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A)，(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析．
[详解] 由导数的定义，知

根据保号性，知存在δ＞0，当x∈(－δ，0)∪(0，δ)时，有

即当x∈(－δ，0)时，f(x)＜f(0)；而当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)．故应选(C)．
[评注] 若f’(a)＞0，且加强条件设f’(x)在x＝a连续，则可以证明存在δ＞0，使得f(x)在(a－δ，a＋δ)内单调上升．

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考研数学二

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