齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则( )

admin2016-05-31 63

问题齐次线性方程组

的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则( )

选项 A、λ=-2且｜B｜=0
B、λ=-2且｜B｜≠0
C、λ=1且｜B｜=0
D、λ=1且｜B｜≠0

答案C

解析将矩阵B按列分块，则由题设条件有
AB=A(β₁，β₂，β₃)=(Aβ₁，Aβ₂，Aβ₃)=O
即AB_i=0(j=l，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Ax=0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有

即λ=1，排除选项A、B．
若｜B｜≠0，则矩阵曰可逆．以B^-1右乘AB=O，得
ABB^-1=OB^-1，即A=O．
这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确，故选C．

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考研数学三

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