2. 考研
  3. 齐次线性方程组 的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则( )

齐次线性方程组 的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则( )

admin2016-05-31  43
问题 齐次线性方程组

的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则(    )
选项 A、λ=-2且｜B｜=0
B、λ=-2且｜B｜≠0
C、λ=1且｜B｜=0
D、λ=1且｜B｜≠0
答案C
解析 将矩阵B按列分块，则由题设条件有
    AB=A(β1，β2，β3)=(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=O
  即ABi=0(j=l，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Ax=0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有

  即λ=1，排除选项A、B．
    若｜B｜≠0，则矩阵曰可逆．以B-1右乘AB=O，得
    ABB-1=OB-1，即A=O．
    这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确，故选C．
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考研数学三

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