设曲线L：(0≤t≤π/2)与l：x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)所围区域为D。计算I＝(x2－y2＋1)dxdy

admin2022-06-09 82

问题设曲线L：

(0≤t≤π/2)与l：x²＋y²≤1(x≥0，y≥0)所围区域为D。计算I＝

(x²－y²＋1)dxdy

选项

答案D如图所示，由于D关于直线y＝x对称，故 [*](x²－y²)＝1/2[*](x²－y²＋y²－x²)dxdy＝0，所以I＝[*]dxdy 记D₁为曲线L及坐标轴所围区域，则 I＝[*]dxdy－[*]dxdy＝1/4 π×1²－[*]dxdy 其中 [*]dxdy＝∫₀¹dx[*]dy＝∫₀¹y[t(x)]dx [*]y(t)d[x(t)]＝∫_π/2⁰sin³t·3cos³t(－sint)dt ＝3∫₀^π/2sin⁴tcos²tdt＝∫₀^π/2sin⁴(1－sin²)dt＝3π/32 故I＝π/4－3π/32＝5π/32 [*]

解析

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