假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=－1}=，求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；(II)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)。

admin2016-10-26 64

问题假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=－1}=

，求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度f_Z(z)；(II)V=｜X—Y｜的概率密度f_V(v)。

选项

答案(Ⅰ)依题意P{Y=－1}=[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F_Z(z)=P{XY≤z}=P{Y=－1}P{XY≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y=－1}P{一X≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{X≤z，Y=1} =P{Y=－1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数F_V(Ⅴ)=P{｜X—Y｜≤V}=0；当v≥0时， F_V(Ⅴ)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=－1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=－1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=1} [*] =Ф(v一1)+Ф(v+1)一1．综上计算可得 [*] 由于F_V(Ⅴ)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为 [*]

解析由于Y为离散型随机变量，X与Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度．

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考研数学一

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假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=－1}=，求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；(II)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)。

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