2. 公务员
  3. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x＞0，f(x)＜0。又f(1)=—2。 (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)在区间[一3，3]上的最大值； (3)解关于x的不等式f(ax2)一2f(x)＜f(ax)+4。

已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x＞0，f(x)＜0。又f(1)=—2。 (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)在区间[一3，3]上的最大值； (3)解关于x的不等式f(ax2)一2f(x)＜f(ax)+4。

admin2017-02-22  19
问题 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x＞0，f(x)＜0。又f(1)=—2。
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)在区间[一3，3]上的最大值；
(3)解关于x的不等式f(ax2)一2f(x)＜f(ax)+4。
选项
答案(1)取x=y=0，则f(0+0)=2f(0)，所以f(0)=0；取y=—x，则f(x—x)=f(x)+f(—x)，所以对任意x∈R，有f(—x)=一f(x)恒成立，因此f(x)为奇函数。 (2)任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x2—x1＞0。因此f(x2)+f(—x1)=f(x2—x1)＜，故f(x2)＜一f(—x1)。又f(x)为奇函数，则f(x1)＞f(x2)，f(x)在R上是减函数。所以对任意x∈[一3，3]，恒有f(x)≤f(一3)，而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=—2×3=—6，f(一3)=一f(3)=6，故f(x)在[一3，3]上的最大值为6。 (3)因f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)+f(—2x)＜f(ax)+f(一2)，进一步得f(ax2一2x)＜f(ax一2)，而f(x)在R上是减函数，则ax2—2x＞ax一2，故(ax一2)(x一1)＞0。因此当a=0时，x∈(一∞，1)；当a=2时，x∈{x｜x≠1且x∈R}；当a＜0时，x∈{x｜[*]或x＞1}。
解析
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