2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，试证： (1)存在点η∈(，1)，使f(η)=η． (2)对λ∈R，必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，试证： (1)存在点η∈(，1)，使f(η)=η． (2)对λ∈R，必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．

admin2017-07-26  50
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，试证：
    (1)存在点η∈(，1)，使f(η)=η．
    (2)对λ∈R，必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．
选项
答案(1)令F(x)=f(x)一x，则F(x)在[0，1]上连续，又 F(1)=一1＜0， [*]＞0， 由介值定理可知，在([*]，1)中至少存在一点η，使得F(η)=0，即f(η)=η． (2)令φ(x)=[f(x)一x]e—λx，则φ(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且φ(0)=0，φ(η)=[f(η)一η]e—λx=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，即 e—λx[f’(ξ)一λ(f(ξ)一ξ)一1]=0． 从而有f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．
解析 (1)这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为函数的零点问题．f(η)一η=0，即f(x)一x=0，即F(x)=f(x)一x在(，1)内有零点．
    由于待证的结论中不含导数，所以可由介值定理证明．
    (2)欲证结论中含有一阶导数，应构造辅助函数用洛尔定理证明．
    由f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1，得到
    f’(x)一λf(x)=1一λx，
    再由一阶非齐次线性方程的通解公式得
    f(x)=e∫λdx[∫(1一λx)e—∫λdxdx+c]=eλx(xe—λx+c)=ceλx+x，
即[f(x)一x]e—λx=c．于是，我们便可得到要找的辅助函数F(x)=[f(x)一x]e—λx．
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考研数学三

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