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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f()=1,试证: (1)存在点η∈(,1),使f(η)=η. (2)对λ∈R,必存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f()=1,试证: (1)存在点η∈(,1),使f(η)=η. (2)对λ∈R,必存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.
admin
2017-07-26
66
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(
)=1,试证:
(1)存在点η∈(
,1),使f(η)=η.
(2)对
λ∈R,必存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.
选项
答案
(1)令F(x)=f(x)一x,则F(x)在[0,1]上连续,又 F(1)=一1<0, [*]>0, 由介值定理可知,在([*],1)中至少存在一点η,使得F(η)=0,即f(η)=η. (2)令φ(x)=[f(x)一x]e
—λx
,则φ(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且φ(0)=0,φ(η)=[f(η)一η]e
—λx
=0.由洛尔定理,存在点ξ∈(0,η)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,即 e
—λx
[f’(ξ)一λ(f(ξ)一ξ)一1]=0. 从而有f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.
解析
(1)这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为函数的零点问题.f(η)一η=0,即f(x)一x=0,即F(x)=f(x)一x在(
,1)内有零点.
由于待证的结论中不含导数,所以可由介值定理证明.
(2)欲证结论中含有一阶导数,应构造辅助函数用洛尔定理证明.
由f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1,得到
f’(x)一λf(x)=1一λx,
再由一阶非齐次线性方程的通解公式得
f(x)=e
∫λdx
[∫(1一λx)e
—∫λdx
dx+c]=e
λx
(xe
—λx
+c)=ce
λx
+x,
即[f(x)一x]e
—λx
=c.于是,我们便可得到要找的辅助函数F(x)=[f(x)一x]e
—λx
.
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考研数学三
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