若反常积分∫0-1xp-1(1-x)q-1dx收敛,则( )

admin2017-01-16  24

问题 若反常积分∫0-1xp-1(1-x)q-1dx收敛,则(    )

选项 A、p>0且q>0。
B、P>0且q<0。
C、p>1且q>1。
D、p>1且q<1。

答案A

解析 被积函数f(x)=xp-1(1-x)q-1可能的瑕点是0和1。将积分区间分成两部分,即
01xp-1(1-x)q-1dx=∫01/2xp-1(1-x)q-1~dx+∫1/21xp-1(1-x)q-1dx。
当x→0+时,xp-1(1-x)q-1;当x→1-时,xp-1(1-x)q-1;原反常积分收敛当且仅当1-p<1,1-q<1,即p>0且q>0。
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