若反常积分∫0-1xp-1(1-x)q-1dx收敛，则( )

admin2017-01-16 49

问题若反常积分∫₀^-1x^p-1(1-x)^q-1dx收敛，则( )

选项 A、p＞0且q＞0。
B、P＞0且q＜0。
C、p＞1且q＞1。
D、p＞1且q＜1。

答案A

解析被积函数f(x)=x^p-1(1-x)^q-1可能的瑕点是0和1。将积分区间分成两部分，即
∫₀¹x^p-1(1-x)^q-1dx=∫₀^1／2x^p-1(1-x)^q-1～dx+∫_1／2¹x^p-1(1-x)^q-1dx。
当x→0⁺时，x^p-1(1-x)^q-1～

；当x→1^-时，x^p-1(1-x)^q-1～

；原反常积分收敛当且仅当1-p＜1，1-q＜1，即p＞0且q＞0。

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