证明α1,α2,…,αs。(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αi-1线性表出.

admin2017-05-10  25

问题 证明α1,α2,…,αs。(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αi-1线性表出.

选项

答案必要性.因为α12,…,αs线性相关,故有不全为0的k1,k2,…,ks,使k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 设ks,ks-1,…,k2,k1中第一个不为0的是ki(即ki≠0,而ki+1=…=ks-1=ks=0),且必有i>1(若i=1即k1≠0,k2=…=ks=0,那么k1α1=0.于是α1=0与α1≠0矛盾.),从而k1α1+k2α2+…+kiαi=0, ki≠0.那么[*](k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1). 充分性.设有αi可用α1,α2,…,αi-1线性表示,则α1,α2,…,αi-1,αi线性相关,从而α12,…,αs线性相关.

解析
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