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  3. [2010年] 设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．

[2010年] 设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．

admin2019-08-01  51
问题 [2010年]  设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．
选项
答案先利用已知Q的第1列的条件求出参数a及对应的特征值，再将A进行正交相似对角化． 已知A的一个特征向量ξ1=[*][1，2，1]T，可求参数a及ξ1对应的特征值λ1．事实上，由Aξ1=λ1ξ1得到 [*] 亦即[*]=2λ1，解得[*] 下面求化A为对角矩阵的正交变换矩阵Q．为此，先求A的特征值及其对应的线性无关的特征向量． 由A=[*]及∣λE—A∣=[*]=0得到 [*] =(λ+4)[(λ一3)(λ一4)一2] =(λ+4)(λ一5)(λ一2)． 故A的特征值为λ1=2，λ2=一4，λ3=5． 解(λ2E—A)X=[*]，即得 属于λ2=一4的特征向量为ξ2=[一1，0，1]T． 解(λ2E一A)X=[*]，即得属 于λ3=5的特征向量为ξ3=[1，一1，1]T． 又因A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量ξ1，ξ2，ξ3相互正交，将其单位化得到 η1=[*][1，2，1]T， η2=[*][一1，0，1]T， η3=[*]．[1，一1，1]T． 取Q=[η1，η2，η3]=[*]，则QTAQ=[*].
解析
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考研数学二

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