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[2010年] 设A=,存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若Q的第1列为[1,2,1]T,求a,Q.
[2010年] 设A=,存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若Q的第1列为[1,2,1]T,求a,Q.
admin
2019-08-01
73
问题
[2010年] 设A=
,存在正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵,若Q的第1列为
[1,2,1]
T
,求a,Q.
选项
答案
先利用已知Q的第1列的条件求出参数a及对应的特征值,再将A进行正交相似对角化. 已知A的一个特征向量ξ
1
=[*][1,2,1]
T
,可求参数a及ξ
1
对应的特征值λ
1
.事实上,由Aξ
1
=λ
1
ξ
1
得到 [*] 亦即[*]=2λ
1
,解得[*] 下面求化A为对角矩阵的正交变换矩阵Q.为此,先求A的特征值及其对应的线性无关的特征向量. 由A=[*]及∣λE—A∣=[*]=0得到 [*] =(λ+4)[(λ一3)(λ一4)一2] =(λ+4)(λ一5)(λ一2). 故A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=一4,λ
3
=5. 解(λ
2
E—A)X=[*],即得 属于λ
2
=一4的特征向量为ξ
2
=[一1,0,1]
T
. 解(λ
2
E一A)X=[*],即得属 于λ
3
=5的特征向量为ξ
3
=[1,一1,1]
T
. 又因A为实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
相互正交,将其单位化得到 η
1
=[*][1,2,1]
T
, η
2
=[*][一1,0,1]
T
, η
3
=[*].[1,一1,1]
T
. 取Q=[η
1
,η
2
,η
3
]=[*],则Q
T
AQ=[*].
解析
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考研数学二
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