2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有｜f′(c)｜≤2a＋b．

设f(χ)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有｜f′(c)｜≤2a＋b．

admin2019-07-22  58
问题 设f(χ)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有｜f′(c)｜≤2a＋b．
选项
答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[*]χ∈[0，1]，[*]c∈(0，1)，有 f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋[*]f〞(ξ)(χ－c)2， (*) 其中ξ＝c＋θ(χ－c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令χ＝0，得f(0)＝f(c)＋f′(c)(－c)＋[*]f〞(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令χ＝1，得f(1)＝f(c)＋f′(c)(1－c)＋[*]〞(ξ2)(1－c)2，0＜c＜ξ2＜1． 上面两式相减得f(1)－f(0)＝f′(c)＋[*]f〞(ξ2)(1－c)2－f〞(ξ1)c2]． 从而f′(c)＝f(1)－f(0)＋[*][f〞(ξ1)c2－f〞(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得 ｜f′(c)｜≤2a＋[*]b[(1－c)2＋c2]≤2a＋[*]b(1－c＋c)＝2a＋[*]b． 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2＋c2≤1．
解析
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考研数学二

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