已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

admin2017-10-21 36

问题已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

选项

答案首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ—a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果6不是A的特征值，则A一6E可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A一bE｜=0．设η₁，η₂，…，η_t是齐次方程组(A一6E)X=0的一个基础解系(这里t=n一r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE的列向量组的一个最大无关组γ₁，γ₂，…，γ_k，这里k=r(A一6E)．则γ₁，γ₂，…，γ_k是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ₁，γ₂，…，γ_k；η₁，η₂，…，η_t，因此A可对角化．

解析

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考研数学三

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