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(1)设A=,求φ(A)=A10-5A9; (2)设A=,求φ(A)=A10-6A9+5A8
(1)设A=,求φ(A)=A10-5A9; (2)设A=,求φ(A)=A10-6A9+5A8
admin
2016-05-31
76
问题
(1)设A=
,求φ(A)=A
10
-5A
9
;
(2)设A=
,求φ(A)=A
10
-6A
9
+5A
8
选项
答案
(1)A的特征多项式为 [*] 解得A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=5. 对于λ
1
=1,解方程(A-E)x=0,得单位特征向量[*] 对于λ
2
=5,解方程(A-5E)x=0,得单位特征向量[*] 于是有正交矩阵P=[*],使得P
-1
AP=diag(1,5)=A,从而A=PAP
-1
,A
k
=PA
k
P
-1
因此 [*] (2)A的特征多项式为 [*] A的特征值为λ
1
=-1,λ
2
=1,λ
3
=5. 对于λ
1
=-1,解方程(A+E)x=0,得单位特征向量[*] 对于λ
2
=1,解方程(A-E)x=0,得单位特征向量[*] 对于λ
3
=5,解方程(A-5E)x=0,得单位特征向量[*] 于是有正交矩阵 [*] 使得P
-1
AP=diag(-1,1,5)=A,A=PAP
-1
.因此 φ(A)=Pφ(A)P
-1
=P(A
10
-6A
9
+5A
8
)P
-1
=P[A
8
(A-E)(A-5E)]P
-1
=Pdiag(1,1,5
8
)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P
-1
=Pdiag(12,0,0)P
-1
[*]
解析
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0
考研数学三
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