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  3. (1)设A=，求φ(A)=A10-5A9； (2)设A=，求φ(A)=A10-6A9+5A8

(1)设A=，求φ(A)=A10-5A9； (2)设A=，求φ(A)=A10-6A9+5A8

admin2016-05-31  103
问题 (1)设A=，求φ(A)=A10-5A9；
(2)设A=，求φ(A)=A10-6A9+5A8
选项
答案(1)A的特征多项式为 [*] 解得A的特征值为λ1=1，λ2=5． 对于λ1=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量[*] 对于λ2=5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量[*] 于是有正交矩阵P=[*]，使得P-1AP=diag(1，5)=A，从而A=PAP-1，Ak=PAkP-1 因此 [*] (2)A的特征多项式为 [*] A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=5． 对于λ1=-1，解方程(A+E)x=0，得单位特征向量[*] 对于λ2=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量[*] 对于λ3=5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量[*] 于是有正交矩阵 [*] 使得P-1AP=diag(-1，1，5)=A，A=PAP-1．因此 φ(A)=Pφ(A)P-1=P(A10-6A9+5A8)P-1 =P[A8(A-E)(A-5E)]P-1 =Pdiag(1，1，58)diag(-2，0，4)diag(-6，-4，0)P-1 =Pdiag(12，0，0)P-1 [*]
解析
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考研数学三

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