在第Ⅰ象限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，并求切点坐标．

admin2022-07-21 50

问题在第Ⅰ象限内作椭球面

的切平面，使该切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，并求切点坐标．

选项

答案设P(x₀，y₀，z₀)为椭球面上一点，令F(x，y，z)=[*]则[*]，故点P(x₀，y₀，z₀)处的切平面方程为 [*] 在上式中令y=z=0，可得切平面在x轴上的截距为：x=a²/x₀．同理可得：y=b²/y₀，z=c²/z₀．则切平面与三坐标面所围四面体体积为[*] 现求V在条件[*]之下的最小值．令L(x₀，y₀，z₀，λ)=lnx₀+lny₀+lnz₀+λ[*] 解方程组[*] 可得[*] 故当切点坐标为[*]时，切平面与三坐标面所围的四面体体积最小．

解析

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考研数学三

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