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设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs一1=αs一1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs一1=αs一1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
admin
2017-07-10
41
问题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关，且
β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s一1
=α
s一1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
，讨论向量组β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性．
选项
答案
设x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0，即 (x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s一1
+x
s
)α
s
=0． [*] ①当s为奇数时，｜A｜=2≠0，方程组只有零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； ②当s为偶数时，｜A｜=0，方程组有非零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关． ①r(K)=s←→｜K｜=1+(一1)
s+1
≠0，即s为奇数时，r(β
1
，β
2
，…，β
s
)=s，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； ②r(K)＜s←→｜K｜=1+(一1)
s+1
=0，即5为偶数时，r(β
1
，β
2
，…，β
s
)＜s，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
解析
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考研数学二
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证明：[*]
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