设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)﹤0，试证明：

admin2019-12-06 42

问题设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f^’’(x)﹤0，试证明：

选项

答案先证右边，令 F(x)＝∫_a^xf(t)dt－f([*])(x－a)，x∈[a，b], F’(x)＝f(x)－[*]。由拉格朗日中值定理可得 [*]，则F’(x)＝[*]，由于f’(x)单调递减以及[*]，可知[*]，即F’(x)﹤0。则F(b)﹤F(0)＝0，即∫_a^bf(t)dt－f([*])(b－a)﹤0，整理可得 [*]。再证左边，令G(x)＝[*]，则 [*]。再由拉格朗日中值定理可知f(x)－f(a)＝(x－a)f’(ζ)，ζ∈(a，x)，从而 [*] 则G(b)﹤G(a)＝0，即 [*]，整理可得[*]。

解析

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考研数学二

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