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设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f’’(x)﹤0,试证明:
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f’’(x)﹤0,试证明:
admin
2019-12-06
32
问题
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f
’’
(x)﹤0,试证明:
选项
答案
先证右边,令 F(x)=∫
a
x
f(t)dt-f([*])(x-a),x∈[a,b], F’(x)=f(x)-[*]。 由拉格朗日中值定理可得 [*], 则F’(x)=[*],由于f’(x)单调递减以及[*],可知[*],即F’(x)﹤0。则F(b)﹤F(0)=0, 即∫
a
b
f(t)dt-f([*])(b-a)﹤0,整理可得 [*]。 再证左边,令G(x)=[*],则 [*]。 再由拉格朗日中值定理可知f(x)-f(a)=(x-a)f’(ζ),ζ∈(a,x),从而 [*] 则G(b)﹤G(a)=0,即 [*], 整理可得[*]。
解析
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考研数学二
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