已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

admin2019-02-01 52

问题已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f²(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

选项 A、n![f(x)]ⁿ⁺¹。
B、n[f(x)]ⁿ⁺¹。
C、[f(x)]ⁿ。
D、n![f(x)]²ⁿ。

答案A

解析由f’(x)=f²(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]³。
假设f^(k)(x)=k![f(x)]^k+1，则
f^(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]^kf’(x)=(k+1)![f(x)]^k+2，
由数学归纳法可知，f⁽ⁿ⁾(x)=n![f(x)]ⁿ⁺¹对一切正整数成立。故选A。

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