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已知函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=f2(x),则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是( )
已知函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=f2(x),则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是( )
admin
2019-02-01
56
问题
已知函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=f
2
(x),则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是( )
选项
A、n![f(x)]
n+1
。
B、n[f(x)]
n+1
。
C、[f(x)]
n
。
D、n![f(x)]
2n
。
答案
A
解析
由f’(x)=f
2
(x)可得,f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]
3
。
假设f
(k)
(x)=k![f(x)]
k+1
,则
f
(k+1)
(x)=(k+1)k![f(x)]
k
f’(x)=(k+1)![f(x)]
k+2
,
由数学归纳法可知,f
(n)
(x)=n![f(x)]
n+1
对一切正整数成立。故选A。
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考研数学二
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