2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=0且证明 (1)存在a＞0，使得f(a)=1； (2)对(1)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=

设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=0且证明 (1)存在a＞0，使得f(a)=1； (2)对(1)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=

admin2016-06-27  159
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=0且证明
(1)存在a＞0，使得f(a)=1；
(2)对(1)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=
选项
答案(1)设F(x)=f(x)一1，x≥0． 因为[*]=2，所以存在X＞0，当x＞X时,f(x)＞1，不妨令x0＞X，则f(x0)＞1，所以F(x0)＞0． 又因为F(0)=一1＜0，根据零点存在性定理，存在a∈(0，x0)[*](0，+∞)，使得F(a)=0，即f(a)=1． (2)函数在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，a)使得 [*]
解析
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考研数学三

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