2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，+∞)上可导且f(x)＞0，又存在q∈(0，1)， 使得|f′(x)|≤q|f(x)|，a0∈R，定义an=lnf(an-1)(n=1，2，…)． 证明：级数(an-an-1)绝对收敛．

设f(x)在(-∞，+∞)上可导且f(x)＞0，又存在q∈(0，1)， 使得|f′(x)|≤q|f(x)|，a0∈R，定义an=lnf(an-1)(n=1，2，…)． 证明：级数(an-an-1)绝对收敛．

admin2022-12-09  13
问题 设f(x)在(-∞，+∞)上可导且f(x)＞0，又存在q∈(0，1)，
使得|f′(x)|≤q|f(x)|，a0∈R，定义an=lnf(an-1)(n=1，2，…)．
证明：级数(an-an-1)绝对收敛．
选项
答案由拉格朗日中值定理得 an-an-1=㏑f(an-1)-㏑f(an-2)=[f′(ξ)/f(ξ)](an-1-an-2)，其中ξ介于an-2与an-1之间， 因为对任意的x有|f′(x)|≤q|f(x)|， 所以|an-an-1|=|f′(ξ)/f(ξ)|·|an-1-an-2|≤q|an-1-an-2|， 由归纳法得 |an-an-1|≤qn-1|a1-a0|， [*]
解析
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考研数学三

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