设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2017-07-10 61

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
(1)计算AB^T与A^TB；
(2)求矩阵AB^T的秩r(AB^T)；
(3)设C=E一AB^T，其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E一BA^T—AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案(1)AB^T=[*]，A^T=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n． (2)因AB^T各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB^T)=1． (3)由于C^TC=(E一AB^T)^T(E一AB^T)=(E一BA^T)(E一AB^T)=E一BA^T一AB^T+BA^TAB^T．故若要求C^TC=E一BA^T一AB^T+BB^T，则BA^TAB^T一BB^T=O，B(A^TA一1)B^T=O，即 (A^TA一1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E一BA^T一AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学二

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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

考研数学二

[*]

[*]应先在xy平面上用阴影标出(X，Y)联合分布密度函数不等于0的部分，同时画出直线x+y=z=常数，根据与阴影部分相交的不同情况分为有关不同z的5种情况，然后进行计算．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证：(1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η；(2)对任意实数λ，必存在ε∈(0，η)，使得fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]＝1

下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是[]．

已知f(x)是微分方程=_______.

求极限

设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则

当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设二二次型f(x1，x2，x3)：XTAX=ax12+2x22+(-232)+2bx1x3(b＞0)，其中二：次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出

2016年12月，表中所列商品零售中，其零售额占社会消费品零售总额的比重高于上年同期水平的有()个。

一个合适的组织形式是国际企业实施其经营战略和实现跨国经营目标的重要保证。【　　】

关于激光打印机的叙述，错误的是

根据《立法法》，关于规范性文件的备案审查制度，下列哪些选项是正确的(2017年卷一66题)

根据《城乡规划法》的规定，可以修改规划的条件是()

根据《水工建筑物抗冲磨防空蚀混凝土技术规范》DL／T5207—2005，含推移质水流速度大于()m／s或悬移质含量大于20kg／m3(主汛期平均)且水流速度大于20m／s时，应根据工程条件选择进行混凝土抗冲磨试验，比选抗冲磨材料。

“有志者、事竞成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人、天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。”此联所涉及的历史事件分别发生在：

TheMakingofaSuccessStoryIKEAistheworld’slargestfurnitureretailer,andthemanbehinditisIngvarKamprad,one

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

考研数学二

[*]

[*]应先在xy平面上用阴影标出(X，Y)联合分布密度函数不等于0的部分，同时画出直线x+y=z=常数，根据与阴影部分相交的不同情况分为有关不同z的5种情况，然后进行计算．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证：(1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η；(2)对任意实数λ，必存在ε∈(0，η)，使得fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]＝1

下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是[]．

已知f(x)是微分方程=_______.

求极限

设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则

当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设二二次型f(x1，x2，x3)：XTAX=ax12+2x22+(-232)+2bx1x3(b＞0)，其中二：次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出

2016年12月，表中所列商品零售中，其零售额占社会消费品零售总额的比重高于上年同期水平的有()个。

一个合适的组织形式是国际企业实施其经营战略和实现跨国经营目标的重要保证。【 】

关于激光打印机的叙述，错误的是

根据《立法法》，关于规范性文件的备案审查制度，下列哪些选项是正确的(2017年卷一66题)

根据《城乡规划法》的规定，可以修改规划的条件是()

根据《水工建筑物抗冲磨防空蚀混凝土技术规范》DL／T5207—2005，含推移质水流速度大于()m／s或悬移质含量大于20kg／m3(主汛期平均)且水流速度大于20m／s时，应根据工程条件选择进行混凝土抗冲磨试验，比选抗冲磨材料。

“有志者、事竞成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人、天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。”此联所涉及的历史事件分别发生在：

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一个合适的组织形式是国际企业实施其经营战略和实现跨国经营目标的重要保证。【　　】