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  3. 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

admin2018-09-25  38
问题 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是   (    )
选项 A、α1=－ξ2一ξ3－…－ξr，α2=ξ1－ξ3－ξ4－…－ξr，α3=ξ1+ξ2－ξ4－…－ξr…，αr=ξ1+ξ2+…+ξr
B、β1=ξ1+ξ2+…+ξr－1，β2=ξ1+ξ3+ξ4+…+ξr，β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr，…，βr=ξ1+ξ2+…+ξC、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等价向量组
D、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等秩向量组
答案B
解析 β1=ξ2+ξ3+…+ξr，β2=ξ1+ξ3+…+ξr，β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr，βr=ξ1+ξ2+…+ξr－1是Ax=0的基础解系．因
    ①由解的性质知，Aβi=A(ξ1+ξ2+…+ξi－1+ξi+1+…+ξr)=0，故βi均是Ax=0的解向量．
    ②向量个数为，r=n－r(A)，与原基础解系向量个数一样多．
    ③因
[β1，β2，…，βr]=[ξ1，ξ2，…，ξr]

[ξ1，ξ2，…，ξr]C，
由ξ1，ξ2，…，ξr线性无关及r≥3，有

故C可逆．
    故β1，β2，…，βr线性无关，则β1，β2，…，βr也是Ax=0的基础解系，故应选B．
    另外对A．当r=3时，α1=－ξ2－ξ3，α2=ξ1－ξ3，α3=ξ1+ξ2．
因α1－α2+α3=－ξ2－ξ3－(ξ1－ξ3)+ξ1+ξ2=0，α1，α2，α3线性相关，故A中α1，α2，…，αr不是Ax=0的基础解系．
    对C，与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组，向量组个数可以超过r个(即与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组可能线性相关)．对D，与ξ1，ξ2，…，ξr等秩向量组可能不是Ax=0的解向量，且个数也可以超过r，故A，C，D均不成立．
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考研数学一

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