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设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),a11的代数余子式A11≠0,且|A|=0,则下列选项正确的是( )
设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),a11的代数余子式A11≠0,且|A|=0,则下列选项正确的是( )
admin
2023-01-04
40
问题
设4阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),a
11
的代数余子式A
11
≠0,且|A|=0,则下列选项正确的是( )
选项
A、α
2
,α
3
,α
4
必线性相关.
B、α
1
,α
2
,α
3
必线性无关.
C、A
*
必相似于对角矩阵.
D、A
*
不相似于对角矩阵.
答案
C
解析
由|A|=0,知A
*
A=|A|E=O,故
r(A
*
)+r(A)≤4.
又由A
11
≠0,知r(A
*
)≥1,所以r(A)≤3.当r(A)<3时,r(A
*
)=0,矛盾,故r(A)=3,r(A
*
)=1.由
知
线性无关,故α
2
,α
3
,α
4
线性无关(线性无关的向量增加分量仍线性无关),排除A.而α
1
,α
2
,α
3
不一定线性无关,排除B.
由r(A
*
)=1,知A
*
的特征值为
λ
1
=λ
2
=λ
3
=0,λ
4
=A
11
+A
22
+A
33
+A
44
≠0,
故(0E-A
*
)x=0,即A
*
x=0有3个线性无关的特征向量α
2
,α
3
,α
4
(由A
*
A=O,知A的列向量是A
*
x=0的解,且α
2
,α
3
,α
4
线性无关),所以A
*
必相似于对角矩阵.C正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bagD777K
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考研数学一
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