在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2017-05-31 25

问题在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为[*]它与x轴的交点为(X，Y)=(x+yy’，0)．此点即为点Q的坐标．于是，[*] 由于曲线向上凹，即y’’>0．因此，根据题意可得[*] 其初始条件为y(1)=1，y’(1)=0．这是y’’=f(y，y’)型的可降阶的微分方程． [*] 其中c为任意常数．由于当y=1时，y’=0(即P=0)．于是，有[*] 亦即p²=y²－1，从而[*]两边积分，得[*]其中c为任意常数．将条件y(1)=1代入，得[*]

解析先写出曲线在一点P(x，y)处的法线方程，两点间的距离公式以及曲率公式，再按题意列出相应的微分方程．根据微分方程的类型，用相应的解法解之．

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在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

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