已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.

admin2017-06-14  48

问题 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.
证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.

选项

答案设α1,α2,α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α1-α2)=0,A(α1-α3)=0. 则α1-α2,α1-α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关.(否则,易推出α1, α2,α3线性相关,矛盾) 所以n-r(A)≥2,即4-r(A)≥2=>r(A)≤2. 又矩阵A中有一个2阶子式 [*] 所以r(A)≥2. 因此r(A)=2.

解析
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