已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明：方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2．

admin2017-06-14 58

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
证明：方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2．

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁－α₂)=0，A(α₁－α₃)=0．则α₁－α₂，α₁－α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关．(否则，易推出α₁， α₂，α₃线性相关，矛盾) 所以n－r(A)≥2，即4－r(A)≥2=>r(A)≤2．又矩阵A中有一个2阶子式 [*] 所以r(A)≥2．因此r(A)=2．

解析

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