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已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.
已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.
admin
2017-06-14
65
问题
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.
选项
答案
设α
1
,α
2
,α
3
是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α
1
-α
2
)=0,A(α
1
-α
3
)=0. 则α
1
-α
2
,α
1
-α
3
是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关.(否则,易推出α
1
, α
2
,α
3
线性相关,矛盾) 所以n-r(A)≥2,即4-r(A)≥2=>r(A)≤2. 又矩阵A中有一个2阶子式 [*] 所以r(A)≥2. 因此r(A)=2.
解析
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考研数学一
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