设f(x)在(一a，a)内连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0． (1)求证：对任给的0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使∫0xf(t)dt+∫0—xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]． (2)求．

admin2017-07-26 84

问题设f(x)在(一a，a)内连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．
(1)求证：对任给的0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使∫₀^xf(t)dt+∫₀^—xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]．
(2)求

．

选项

答案(1)令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^—xf(t)dt，则F(0)=0，F(x)在[0，x]上可导，由拉格朗日中值定理 F(x)一F(0)=F’(θx)z，0＜θ＜1 即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^—xf(t)dt=x[f(θx)一f(—θx)]． (2)将上式两边同除以2x²，得 [*]

解析

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考研数学三

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