2. 考研
  3. 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． 令B＝(α1，α2，α3)，求Bx＝b的通解；

已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． 令B＝(α1，α2，α3)，求Bx＝b的通解；

admin2019-08-27  15
问题 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T．
令B＝(α1，α2，α3)，求Bx＝b的通解；
选项
答案先求Bx＝0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩． 由题目的已知信息可得：Ax＝0的基础解系中含有两个向量，故4－R(A)＝2，也即R(A)＝2，而由(1，0，2，1)T是Ax＝0的解可得α1＋2α3＋α4＝0，故α4＝－α1－2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故R(α1，α2，α3，α4)＝R(α1，α2，α3)＝R(B)，也即R(B)＝2．因此Bx＝0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx＝0的任一非零解即为其基础解系． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Ax＝0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax＝0的解，可知3α1＋α2＋3α3＝0，因此(3，1，3)T为Bx＝0的解，也即(3，1，3)T为Bx＝0的基础解系． 最后，再求Bx＝b的任何一个特解即可．只需使得Ax＝b的通解中α1的系数为0即可，为此，令(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T中k1＝0，k2＝1，得(3，2，2，0)T是Ax＝b的一个解，故(3，2，2)T是Bx＝b和一个解． 可知Bx＝b的通解为(3，2，2)T＋k(3，1，3)T，k∈R．
解析
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考研数学一

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