首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2017-02-28
53
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
—a
a
|x—t|f(t)dt=∫
—a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一x∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt一∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt, F’(x)=∫
—a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(t)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
—a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt, 因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0, (Ⅱ)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F’(0)>0, 所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点. 故最小值为F(0)=∫
—a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a, 于是f’(x)一2xf(x)=2x, 解得f(x)=[∫2xe
∫—2xdx
dx+C]e
—∫—2xdx
=[*]—1, 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
—1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/btu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
甲、乙两人分别拥有赌本30元和20元,他们利用投掷一枚均匀硬币进行赌博,约定如果出现正面,甲赢10元、乙10元.如果出现反面,则甲输10元、乙赢10元,分别用随机变量表示投掷一次后甲、乙两人的赌本,并求其概率分布和分布函数,画出分布函数的图形.
设f(x)在(-∞,+∞)上可导,(1)若f(x)为奇函数,证明fˊ(x)为偶函数;(2)若f(x)为偶函数,证明fˊ(x)为奇函数;(3)若f(x)为周期函数,证明fˊ(x)为周期函数.
设函数f(u)可导,y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0.1时,相应的函数增量△y的线性主部为0.1,则fˊ(1)=().
设矩阵,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则丨B丨=__________.
若α1,α2,α3,β1,β2都是4维列向量,且4阶行列式丨α1,α2,α3,β1丨=m,丨α1,α2,β2,α3丨=n,则4阶行列式丨α3,α2,α1,β1+β2丨=__________.
求点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离.
已知(1)计算行列式|A|.(2)当实数α为何值时,方程组Ax=β有无穷多解,并求其通解.
求曲面积分其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分.
设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。求S(x)的表达式。
设A和B是任意两个概率不为0的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()
随机试题
A、 B、 C、 D、 E、 A
低渗性脱水主要指
不符合牙体缺损修复体固位原理的是
急性心肌梗死最早、最突出的体征是
下列哪一案件,可以做出不起诉决定,也可以做出起诉决定?()
一般说来,有较大危险因素的生产经营场所和有关设施、设备,是指因生产经营场所进行的()使用的设备、材料或者储存的物品有危险因素,容易对人身造成伤害。
水利工程施工中,实施“三检制”的主体是()。
某旅游开发有限公司2011年8月发生有关业务及收入如下:(1)旅游景点门票收入650万元;(2)景区索道客运收入380万元;(3)民俗文化村项目表演收入120万元;(4)餐厅收入60万元(其中包括销售自制的20吨啤酒所取得的收入);(5)与甲企业
评价幼儿园活动内容时,对活动内容的适宜性、有效性表述不准确的是()。
EarlyTheoriesofContinentalDriftP1:TheideathatthegeographyofEarthwasdifferentinthepastthanitistodayisnotn
最新回复
(
0
)