设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2017-02-28 34

问题设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_—a^a｜x一t｜f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_—a^a|x—t|f(t)dt=∫_—a^x(x一t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt一∫_—a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt一x∫_x^af(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt一∫_—a^xtf(t)dt一∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt， F’(x)=∫_—a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(t)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_—a^xf(t)dt—∫_x^af(t)dt，因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_—a⁰f(x)dx一∫₀^af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0， (Ⅱ)因为F’(0)=∫_—a⁰f(x)dx一∫₀^af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_—a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫—2xdxdx+C]e^{—∫—2xdx}=[*]—1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²—1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

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