2. 考研
  3. 设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2017-02-28  51
问题 设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．
选项
答案(Ⅰ)F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt=∫—ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt+∫xatf(t)dt一x∫xaf(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt一∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， F’(x)=∫—axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(t)+∫axf(t)dt+xf(x) =∫—axf(t)dt—∫xaf(t)dt， 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫—a0f(x)dx一∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0， (Ⅱ)因为F’(0)=∫—a0f(x)dx一∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F’(0)＞0， 所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点． 故最小值为F(0)=∫—aa|t|f(t)dt=2∫0atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫0atf(t)dt=f(a)一a2一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a， 于是f’(x)一2xf(x)=2x， 解得f(x)=[∫2xe∫—2xdxdx+C]e—∫—2xdx=[*]—1， 在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．
解析
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