设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________。

admin2018-12-27  30

问题 设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________。

选项

答案y"-2y’+2y=0

解析 方法一:由已知的通解形式知1±i为所求微分方程的特征方程的根,则特征方程为λ2-2λ+2=0,故所求方程为y"-2y’+2y=0。
    方法二:由y=ex(C1sinx+C2cosx),等式两边对x求一阶、二阶导数,得
                 y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx-C2sinx),
                     y"=2ex(C1cosx-C2sinx),
    联立上述三式消去C1,C2,得y"-2y’+2y=0。
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