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园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形,他发现如果增加5盆,就能摆成实心正三角形。如果减少4盆,就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。若将现有的花盆摆成实心矩形,最外层最少有( )盆花。
园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形,他发现如果增加5盆,就能摆成实心正三角形。如果减少4盆,就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。若将现有的花盆摆成实心矩形,最外层最少有( )盆花。
admin
2020-01-24
12
问题
园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形,他发现如果增加5盆,就能摆成实心正三角形。如果减少4盆,就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。若将现有的花盆摆成实心矩形,最外层最少有( )盆花。
选项
A、28
B、26
C、24
D、22
答案
D
解析
假设组成的实心正三角形每个边有n个花盆,则花盆总数为
个,那么原有花盆总数为
如果减少 4盆,那么实心正方形的花盆总数为
因为实心正方形每条边花盆数相等(每个边至少 2个花盆),此时花盆总数为边长的平方,所以
为平方数。要想实心矩形最外层的花盆数最少,则原有花盆总数应尽可能小,即n尽可能小,那么
应尽可能小。
当
时,n(n+1)=13×2=26 ,n 为非整数,排除;
当
时,n(n+1)=18×2=36 ,n 为非整数,排除;
当
时,n(n+1)=25×2=50 ,n 为非整数,排除;
当
时,n(n+1)=34×2=68 ,n 为非整数,排除;
当
时,n(n+1)=45×2=90 ,n =9为整数,满足。则原有花盆总数
个。
花盆总数为 40个时,设实心矩形长有a个,宽有b 个, 则a×b,最外层有2(a+b)-4个花盆。要让最外层的花盆数最少,即长宽和(a+b)最少,根据“当a×b为定值时, a与b 越接近,则 (a+b)越小”,则a=8,b=5 ,那么 2(a+b)-4=2×(8+5)-4=26-4=22盆时最小。
故正确答案为 D。
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