设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： (Ⅰ)z=f(x2+y2，eycosx)，求．

admin2017-10-23 74

问题设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分：
(Ⅰ)z=f(x²+y²，e^ycosx)，求

．

选项

答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得 dz=f’₁d(x²+y²)+f’₂d(e^ycosx) =(2xdx+2ydy)f’₁+(一e^ysinxdx+e^ycosxdy)f’₂ =(2xf’₁—e^ysinxf’₂)dx+(2yf’₁+e^ycosxf’₂)dy， → z’_x=2xf’₁—e^ysinxf’₂，z’_y=2yf’₁+e^ycosxf’₂．从而[*]=z"=(x’_x)’_y=(2xf’₁—e^ysinxf’₂)’_y=2x(f’₁)’_y一e^ysinxf’₂一e^ysinx(f’₂)’_y =2x(2yf"₁₁+e^ycosxf"₁₂)一e^ysinxf’₂一e^ysinx(2yf"₂₁+e^ycosxf"₂₂) =4xyf’₁₁+2e^y(xcosx—ysinx)f"₁₂一e^2ysinxcosxf"₂₂一e^ysinxf’₂． (Ⅱ)u=[*]复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得[*])．由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 [*]

解析

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考研数学三

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设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： (Ⅰ)z=f(x2+y2，eycosx)，求．

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