设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

admin2017-01-13 73

问题设A为n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)A^TAx=0，必有( )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解。
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解。

答案A

解析如果α是(1)的解，有Aα=0，可得A^TAα=A^T(Aa)=A^T0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若α是(2)的解，有A^TAα=0，用α^T左乘可得0=α^T0=α^T(A^TAα)=(α^TA^T)(Aα)=(Aα)^T(Aα)，若设Aa=(b₁，b₂，…，b_m)，那么(Aα)^T(Aα)=b₁+b₂²+…+b_n²=0,b_i=0(i=1，2，…，n)，即Aα=0，说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。

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考研数学二

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