已知A是3阶实对称矩阵.满足A4+2A3+A2+2A=0,且秩r(A)=2.求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E).

admin2019-01-23  28

问题 已知A是3阶实对称矩阵.满足A4+2A3+A2+2A=0,且秩r(A)=2.求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E).

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量,则Aα=λα(α≠0),于是 Anα=λnα. 那么用α右乘A4+2A3+A2+2A=0得(λ4+2λ32+2λ)α=0. 因为特征向量α≠0,故λ4+2λ32+2λ=λ(λ3+2λ2+λ+2)=λ(λ+2)(λ2+1)=0. 由于实对称矩阵的特征值必是实数,从而矩阵A的特征值是0或一2. 由于实对称矩阵必可相似对角化,且秩r(A)=r(A)=2,所以A的特征值是0,一2,一2. 因A~[*]+E=[*],所以秩r(A+E)=r([*]+E)=3.

解析
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