设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证：对任意实数λ，必定存在ξ∈(0,η)，使得f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1.

admin2022-09-05 77

问题设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,

,试证：
对任意实数λ，必定存在ξ∈(0,η)，使得f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1.

选项

答案设F(x)=e^－λxΦ(x)=e^－λx[f(x)－x],则F(x)在[0,η]上连续，在(0,η)内可导，且 F(0)=0,F(η)=e^－ληΦ(η)=0 即F(x)在[0,η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0,η)使得 F’(ξ)=0,即e^－λξ{f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]－1}=0 从而f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1

解析

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考研数学三

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设有微分方程y’－2y＝φ(x)，其中φ(x)＝，在(－∞，＋∞)求连续函数y(x)，使其在(－∞，1)及(1，＋∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)＝0．
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