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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证: 对任意实数λ,必定存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证: 对任意实数λ,必定存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2022-09-05
85
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,
,试证:
对任意实数λ,必定存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
设F(x)=e
-λx
Φ(x)=e
-λx
[f(x)-x],则F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且 F(0)=0,F(η)=e
-λη
Φ(η)=0 即F(x)在[0,η]上满足罗尔定理的条件,故存在ξ∈(0,η)使得 F’(ξ)=0,即e
-λξ
{f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0 从而f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
解析
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考研数学三
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