向平面区域D：x≥0，0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点．求 (1)该点到y轴距离的概率密度； (2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y＝4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差．

admin2016-01-25 68

问题向平面区域D：x≥0，0≤y≤4一x²内等可能地随机地投掷一点．求
(1)该点到y轴距离的概率密度；
(2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y＝4一x²所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差．

选项

答案[*] 平面曲域D如上图所示，其面积为 [*] 于是二维随机变量(X，Y)的联合密度为 [*] (1)随机点(X，Y)到y轴的距离即为随机变量X，其概率密度即为关于X的边缘概率密度f_X(x)： [*] x取其他值时，f_X(x)＝0． (2)曲边梯形面积为图中阴影区域的面积，它为 [*] 下求面积即φ(X)的期望与方差： [*]

解析在平面区域内投掷一点其坐标视为二维随机变量(X，Y)．又已知等可能地随机投掷，这就告诉我们(X，Y)在此区域内服从均匀分布．因曲边梯形面积可用X表示，应视为随机变量X的函数φ(X)．需求E[φ(X)]与D[φ(X)]．

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考研数学三

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