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向平面区域D:x≥0,0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点.求 (1)该点到y轴距离的概率密度; (2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y=4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差.
向平面区域D:x≥0,0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点.求 (1)该点到y轴距离的概率密度; (2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y=4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差.
admin
2016-01-25
106
问题
向平面区域D:x≥0,0≤y≤4一x
2
内等可能地随机地投掷一点.求
(1)该点到y轴距离的概率密度;
(2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y=4一x
2
所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差.
选项
答案
[*] 平面曲域D如上图所示,其面积为 [*] 于是二维随机变量(X,Y)的联合密度为 [*] (1)随机点(X,Y)到y轴的距离即为随机变量X,其概率密度即为关于X的边缘概率密度f
X
(x): [*] x取其他值时,f
X
(x)=0. (2)曲边梯形面积为图中阴影区域的面积,它为 [*] 下求面积即φ(X)的期望与方差: [*]
解析
在平面区域内投掷一点其坐标视为二维随机变量(X,Y).又已知等可能地随机投掷,这就告诉我们(X,Y)在此区域内服从均匀分布.因曲边梯形面积可用X表示,应视为随机变量X的函数φ(X).需求E[φ(X)]与D[φ(X)].
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考研数学三
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