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[2011年] (I)证明对任意的正整数,都有成立; (Ⅱ)设an=1+一lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛.
[2011年] (I)证明对任意的正整数,都有成立; (Ⅱ)设an=1+一lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛.
admin
2019-04-05
43
问题
[2011年] (I)证明对任意的正整数,都有
成立;
(Ⅱ)设a
n
=1+
一lnn(n=1,2,…),证明数列{a
n
}收敛.
选项
答案
利用拉格朗日中值定理或已知的不等式证明(I);利用(I)的结论及极限存在准则证明(Ⅱ). (I)证一 利用拉格朗日中值定理证之.令f(x)=ln(1+x),则f(0)=0,对f(x)在闭区间[0,1/n]上使用拉格朗日中值定理,得到 f([*])一f(0)=f′(ξ)·[*](0<ξ<[*]), 即[*] 因0<ξ<[*],故1<1+ξ<1+[*],则[*]<1,于是 [*] 证二 利用命题1.2.6.1(3)即不等式1<(1+[*])
n
<e,e<(1+[*])
n+1
证之. 在1<(1+[*])
n
<e两边取对数,得到 0=lnl<ln(1+[*])
n
=ln(1+[*])<1ne=1, 故 [*] ① 在e<(1+[*])
n+1
两边取对数,得到1=lne<(n+1)ln(1+[*]),即 [*] ② 由式①与式②即得 [*]
解析
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考研数学二
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