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  3. [2011年] (I)证明对任意的正整数，都有成立； (Ⅱ)设an=1+一lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．

[2011年] (I)证明对任意的正整数，都有成立； (Ⅱ)设an=1+一lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．

admin2019-04-05  107
问题 [2011年]  (I)证明对任意的正整数，都有成立；
(Ⅱ)设an=1+一lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．
选项
答案利用拉格朗日中值定理或已知的不等式证明(I)；利用(I)的结论及极限存在准则证明(Ⅱ)． (I)证一 利用拉格朗日中值定理证之．令f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，对f(x)在闭区间[0，1／n]上使用拉格朗日中值定理，得到 f([*])一f(0)=f′(ξ)·[*](0＜ξ＜[*])， 即[*] 因0＜ξ＜[*]，故1＜1+ξ＜1+[*]，则[*]＜1，于是 [*] 证二 利用命题1．2．6．1(3)即不等式1＜(1+[*])n＜e,e＜(1+[*])n+1证之． 在1＜(1+[*])n＜e两边取对数，得到 0=lnl＜ln(1+[*])n=ln(1+[*])＜1ne=1， 故 [*] ① 在e＜(1+[*])n+1两边取对数，得到1=lne＜(n+1)ln(1+[*]),即 [*] ② 由式①与式②即得 [*]
解析
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考研数学二

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