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已知线性方程组有非零解,而且矩阵是正定矩阵. 求当xTx=2时,XTAX的最大值,其中X=(x1,x2,x3)T为3维实向量.
已知线性方程组有非零解,而且矩阵是正定矩阵. 求当xTx=2时,XTAX的最大值,其中X=(x1,x2,x3)T为3维实向量.
admin
2018-07-27
101
问题
已知线性方程组
有非零解,而且矩阵
是正定矩阵.
求当x
T
x=2时,X
T
AX的最大值,其中X=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
为3维实向量.
选项
答案
A的最大特征值为10,设对应的单位特征向量为髻(即Aξ=10ξ,且ξ
T
ξ=1).对二次型X
T
AX,存在正交变换X=PY化其为标准形:X
T
AX=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
),当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时,有X
T
AX≤10×3=20,又X
0
=[*]ξ满足X
0
T
X
0
=2,则X
0
T
AX
0
=([*]ξ)=2ξ
T
(Aξ)=2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20,综上可知[*]X
T
AX=20.
解析
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0
考研数学三
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