已知A，A-E都是n阶实对称正定矩阵，证明E-A-1是正定矩阵．

admin2016-10-20 57

问题已知A，A-E都是n阶实对称正定矩阵，证明E-A^-1是正定矩阵．

选项

答案(特征值法) 由(E-A^-1)^T=E^T-(A^-1)^T=E-(A^T)^-1=E-A^-1知，E-A^-1是对称矩阵．设λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，则A-E与E-A^-1的特征值分别是λ₁-1，λ₂-1，…，λ_n-1与[*]．由于A-E正定，其特征值λ_i-1全大于0，那么[*]，从而E-A^-1的特征值全大于0，即E-A^-1是正定矩阵．

解析

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