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设f(χ)二阶可导,且=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf〞(ξ)+2f′(ξ)=0.
设f(χ)二阶可导,且=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf〞(ξ)+2f′(ξ)=0.
admin
2018-05-17
59
问题
设f(χ)二阶可导,且
=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf〞(ξ)+2f′(ξ)=0.
选项
答案
由[*]=0得f(0)=1,f′(0)=0, f(0)=f(1)=1,由罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f′(c)=0.令φ(χ)=χ
2
f′(χ), φ(0)=φ(c)=0,由罗尔定理,存在ξ∈E(0,c)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=2χf′(χ)+χ
2
f〞(χ),于是2f′(ξ)+ξ
2
f〞(ξ)=0, 再由ξ≠0得ξf〞(ξ)+2f′(ξ)=0.
解析
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