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设向量组α1=[1,1,1,1]T,α2=[1,-1,2,3]T,α3=[1,1,4,9]T,α4=[1,-1,8,27]T,证明:任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示,且表达式唯一.
设向量组α1=[1,1,1,1]T,α2=[1,-1,2,3]T,α3=[1,1,4,9]T,α4=[1,-1,8,27]T,证明:任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示,且表达式唯一.
admin
2021-07-27
48
问题
设向量组α
1
=[1,1,1,1]
T
,α
2
=[1,-1,2,3]
T
,α
3
=[1,1,4,9]
T
,α
4
=[1,-1,8,27]
T
,证明:任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示,且表达式唯一.
选项
答案
记A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],由 [*] 知向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.设β=[a,b,c,d]
T
为任意一个4维列向量,下面证明,β可以被α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表达式唯一.从秩的角度,由于矩阵|A|≠0,知向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,即有r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=4,又向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β的向量个数大于维数,必相关,即有r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=4,故β可以被向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表达式唯一.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/chy4777K
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考研数学二
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