2. 考研
  3. 设向量组α1=[1，1，1，1]T，α2=[1，-1，2，3]T，α3=[1，1，4，9]T，α4=[1，-1，8，27]T，证明：任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示，且表达式唯一．

设向量组α1=[1，1，1，1]T，α2=[1，-1，2，3]T，α3=[1，1，4，9]T，α4=[1，-1，8，27]T，证明：任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示，且表达式唯一．

admin2021-07-27  77
问题 设向量组α1=[1，1，1，1]T，α2=[1，-1，2，3]T，α3=[1，1，4，9]T，α4=[1，-1，8，27]T，证明：任意一个4维列向量均可以被该向量组线性表示，且表达式唯一．
选项
答案记A=[α1，α2，α3，α4]，由 [*] 知向量组α1，α2，α3，α4线性无关．设β=[a，b，c，d]T为任意一个4维列向量，下面证明，β可以被α1，α2，α3，α4线性表示，且表达式唯一．从秩的角度，由于矩阵｜A｜≠0，知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，即有r(α1，α2，α3，α4)=4，又向量组α1，α2，α3，α4，β的向量个数大于维数，必相关，即有r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=4，故β可以被向量组α1，α2，α3，α4线性表示，且表达式唯一．
解析
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考研数学二

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