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已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2一4x1x3一8x2x3,用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形,并求出其正交变换矩阵Q.
已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2一4x1x3一8x2x3,用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形,并求出其正交变换矩阵Q.
admin
2016-07-11
85
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+5x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
2
一4x
1
x
3
一8x
2
x
3
,用正交变换化f(x
1
,x
2
,x
3
)为标准形,并求出其正交变换矩阵Q.
选项
答案
f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+5x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
—8x
2
x
3
, [*] A的特征多项式φ(λ)=(λ一1)
2
(λ一10), 于是得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=10. 对于特征值λ
1
=λ
2
=1,由方程组(E—A)x=0,得到属于特征值λ
1
=λ
2
=1的两个正交的特征向量为 [*] 对于特征值λ
3
=10,由方程组(10E—A)x=0,得到属于特征值λ
3
=10的特征向量为 [*] 于是作正交变换x=Qy,则有f=y
1
2
+y
2
2
+10y
3
2
.
解析
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本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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